Задачи на логику, головоломки, загадки, ребусы - Л О Г О - Р А Й

Принцип Дирихле

Даны 12 различных двузначных чисел. Докажите, что из них можно выбрать два числа, разность которых — двузначное число, записываемое двумя одинаковыми цифрами.

Ответ:

Двузначные числа, кратные 11 (и только они) записываются двумя одинаковыми цифрами.

Решение. Рассмотрим остатки от деления данных чисел на 11. Поскольку разных остатков лишь 11 (0, 1, 2, ..., 9, 10), а чисел 12, то хотя бы два числа дают одинаковые остатки. Это означает, что разность этих чисел делится на 11. (Вообще говоря, нужно ещё доказать, что эта разность является двузначным числом, но это очевидно: среди однозначных чисел только 0 делится на 11, а разность двух различных чисел не может равняться нулю.)