Задачи на логику, головоломки, загадки, ребусы - Л О Г О - Р А Й

Принцип Дирихле

На плоскости нарисовали 5 прямых. Докажите, что угол между какими-то двумя из них не больше 36°. (Если какие-нибудь прямые параллельны, считайте, что угол между ними равен 0°.)

Угол между прямыми не изменяется, если к ним применить параллельный перенос (для каждой прямой — свой перенос).

Ответ:

Отметим на плоскости произвольную точку и переместим параллельными переносами все прямые так, чтобы они проходили через эту точку. Величины углов между прямыми при этом не изменятся. Теперь мы получили пять прямых, проходящих через одну точку, которые образовали 10 углов (внутренние области которых не пересекаются). Сумма величин этих углов равна 360°. Если бы все эти величины были больше 36°, то их сумма была бы больше 360°. Следовательно, величина хотя бы одного из этих десяти углов не превышает 36°.