Задачи на логику, головоломки, загадки, ребусы - Л О Г О - Р А Й

Вычисления

У Феди есть три палочки. Если из них нельзя сложить треугольник, Федя укорачивает самую длинную из палочек на сумму длин двух других. Если длина палочки не обратилась в нуль и треугольник снова нельзя сложить, то Федя повторяет операцию, и т. д. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?

Ответ:

Да, может. Рассмотрим на примере.

Возьмем многочлен P(x) = x3 - x2 - x - 1. Т.к. при x=1 P(1)<0, а при x=2 P(2)>0, то многочлен имеет корень t, больший 1.

Подставим t в многочлен и приравняем к нулю: t3 - t2 - t - 1 = 0, отсюда t3 = t2 + t + 1 > t2 + t

Возьмём длины палочек равными (t3, t2, t). Треугольник из них сложить нельзя, а длина самой длинной палочки будет t3. После первого отпиливания длины станут (t3 - t2 - t, t2, t) = (1, t2, t ) или в другом порядке ( t2, t, 1). Так как отношение длин не изменилось, процесс будет продолжаться бесконечно.